Ciąg Ziobonacciego

Ciąg Ziobonacciego to następujący ciąg liczb naturalnych:

1, 3, 5, 7, 4, 2, 9, 8, 10, 6, 11.

Został zdefiniowany przez ZioPenga 16 października 2021 podczas tworzenia reakcji do ankiety na Discordzie.

Wielomian Ziobonacciego

Przy użyciu interpolacji Lagrange'a możliwe jest znalezienie wielomianu stopnia n – 1 dla n punktów (węzłów interpolacji):

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
y	1	3	5	7	4	2	9	8	10	6	11

Dla 11 punktów istnieje wielomian 10 stopnia, którego wykres przechodzi przez wszystkie 11 punktów (analogicznie dla dowolnych 2 punktów istnieje możliwość wyznaczenia prostej – wielomianu stopnia 1 – przechodzącej przez oba punkty).

Otrzymany wielomian Ziobonacciego, generujący ciąg Ziobonacciego dla x = 1, 2, …, 11 wygląda następująco:

<math> \begin{align} f(x)=&\frac{341}{1\,209\,600}x^{10} - \frac{11\,993}{725\,760}x^9 + \frac{3389}{8064}x^8 - \frac{21\,025}{3456}x^7 + \frac{3\,183\,673}{57\,600}x^6 - \frac{11\,326\,757}{34\,560}x^5 + \\ \\ + &\frac{3\,863\,281}{3024}x^4 - \frac{116\,561\,783}{36\,288}x^3 + \frac{124\,633\,337}{25\,200}x^2 - \frac{149\,833}{36}x + 1430 \end{align}</math>

Rozwinięcie Mruczka

20 października 2021 Mruczek zaproponował następujące rozwinięcie ciągu Ziobonacciego, podając wyrazy od a₁₂ do a₆₁:

…, 12, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 24, 24, 27, 25, 31, 32, 33, 35, 36, 39, 40, 42, 43, 44, 46, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 76, 77, 78, 80.

Cechy rozwinięcia Mruczka:

• Istnieje jedna sekwencja trzech następujących po sobie liczb 24 (wyrazy a₂₀, a₂₁ i a₂₂). 24 jest najmniejszą liczbą, którą można przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych na dokładnie trzy sposoby: 24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13.
• Wyraz a₅₃ wynosi 69.
• Ciąg Ziobonacciego wraz z odpowiadającym mu rozwinięciem Mruczka zawiera wszystkie liczby będące kolejnymi potęgami dwójki, począwszy od 2⁰ (1) do 2⁶ (64); co więcej, każda z tych liczb występuje w ciągu dokładnie raz. Są to kolejno wyrazy (postępujące od wartości 2⁰): a₁, a₆, a₅, a₈, a₁₆, a₂₆, a₅₀.
• Równanie a_n = n spełniają następujące liczby: 1, 8, 11, 12, 15, 16.