Potęga dwójki

Potęga dwójki - jest to potęga o podstawie 2 i wykładniku większym od 1.

Obliczanie kolejnych potęg

Obliczanie kolejnych potęg liczby dwa jest bardzo proste. Wystarczy pomnożyć podstawę przez dwa. Można to też uprościć i do podstawy potęgi dodać podstawę, i tak dalej w nieskończoność.

Dla przykładu: 2 ⋅ 2 = 2². 4 ⋅ 2 = 8, dlatego że 4 = 2², a 2² ⋅ 2 = 2³. Wiadomo, że 2³ = 8, ponieważ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 8.

Bardzo zalecanym sposobem jest mnożenie w pamięci przez dwa.

Obliczanie potęgi dwójki - zajęcie dla zabicia nudy?

Znany jest przypadek, gdy Sky S. (17 l.) podczas lekcji matematyki z Beatą W. obliczał potęgi liczby dwa. Matematyka była tak nudnym zajęciem, że podczas zaledwie trzech godzin lekcyjnych (po 45 minut) obliczył 2⁸⁰! Dwie strony jego zeszytu są zapisane "kodem Einsteina" - bowiem każda poprzednia liczba jest mnożona razy dwa, co daje pewną regularność w obliczeniach.

Największa liczba, jaką miał ochotę liczyć (dane z 18.09.2014 r.) to 2⁸⁰ ≈ 1 208 925 789 064 354 201 600 000, i wynosi ona nieco ponad 1,2 kwadryliona (1.2e+24 lub 1,2 ⋅ 10²⁴)

Wnioski

Z tego zadania Sky S. wyciągnął następujące wnioski:

• Występuje pewna regularność w potęgowaniu. Odkryto, że co 4, 3 i 3 miejsca w wykładniku potęgi o podstawie 2 liczba cyfr zmienia się o 1. 2⁰ = 1, a 2⁰⁺⁴ = 2⁴ = 16. Kolejnym przykładem może być 2¹⁴ = 16384, natomiast 2¹⁴⁺³ = 2¹⁷ = 131072. Taka regularność występuje w nieskończoność.
• Kolejna regularność zauważalna jest jeśli chodzi o cyfry w kolejnych potęgach. Odkrył, że jeżeli do wykładnika doda się liczbę 10, to może wystąpić pewien ciąg cyfr który się powtarza. Oczywiście, ta regularność nie występuje w nieskończoność, dlatego że przy ogromnych potęgach w bardzo łatwy sposób powtarzająca się cyfra 16 może zostać zastąpiona przez 17 na skutek kolejnych cyfr i reszty. Przykład: 2⁵ = 32, 2⁵⁺¹⁰ = 2¹⁵ = 32768. Ta regularność występuje w przypadku potęg mniejszych od 2¹⁶. Dlatego że od potęgi 2¹⁶ reszta cyfr jest na tyle ogromna, że wpływa na pierwsze cyfry ogromnych liczb. Przykład: 2⁶ = 64, 2⁶⁺¹⁰ = 65536!

Ciekawostki

• Z jakiegoś powodu informatycy znają bardzo dobrze wszystkie potęgi liczby dwa.
• Za czasów komputerów 16-bitowych, maksymalna pamięć wynosiła zaledwie 64 kB! 2¹⁶ = 65536 B = 64 kB.

Potęgi liczby dwa

Poniżej zapisano wszystkie potęgi liczby dwa aż do 2⁴⁰.

2⁰ = 1

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

2¹¹ = 2048

2¹² = 4096

2¹³ = 8192

2¹⁴ = 16384

2¹⁵ = 32768

2¹⁶ = 65536

2¹⁷ = 131072

2¹⁸ = 262144

2¹⁹ = 524288

2²⁰ = 1048576

2²¹ = 2097152

2²² = 4194304

2²³ = 8388608

2²⁴ = 16777216

2²⁵ = 33554432

2²⁶ = 67108864

2²⁷ = 134217728

2²⁸ = 268435456

2²⁹ = 536870912

2³⁰ = 1073741824

2³¹ = 2147483648

2³² = 4294967296

2³³ = 8589934592

2³⁴ = 17179869184

2³⁵ = 34359738368

2³⁶ = 68719476736

2³⁷ = 137438953472

2³⁸ = 274877906944

2³⁹ = 549755813888

2⁴⁰ = 1099511600000